Bonjour à tous pourriez-vous m'aider sur mon DM de maths svp j'ai pas compris l exo de la partie 2

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) f'(x)=2*x/4-2/x

f'(x)=x²/2x-4/2x

f'(x)=(x²-4)/2x

Or x²-4 est de la forme a²-b²=(a+b)(a-b)

Donc f'(x)=(x+2)(x-2)/2x

2) On fait le tableau de signe :

x          0                                2                               +oo

x          II              +                I                   +                II

x+2      II              +                I                   +                II

x-2      II               -                I                   +                II

f'(x)      II              -                  I                  +                II

3) On en déduit le tableau de variation

x          0                                2                               +oo

f(x)       II   décroissante        I    croissante            II

4) La tangente a une équation du type y=ax+b

Au point d'abscisse 1 on sait que a=f'(1)

f'(1)=(1-2)(1+2)/2=-3/2

a=-3/2

D'autre part la tangente passe par le point de la courbe d'abscisse 1

f(1)=1²/4-1-2ln1=1/4-1=-3/4

On a donc -3/4=-3/2*1+b

b=3/2-3/4=3/4

Donc l'équation de la tangente est y=-3/2*x+3/4