bjr à tous j'ai besoin d'aide pour cet exo de maths mercii

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1a) AM=AI+IM par la relation de Chasles

Donc AM.AB=(AI+IM).AB=AI.AB+IM.AB

1b) Par définition du produit scalaire :

AI.AB=IIAIIIxIIABIIxcos(AI;AB)

I étant le milieu de AB, IIAIII=3 et (AI;AB)=0 donc cos(AI;AB)=1

D'ou AI.AB=3x6x1=18

1c) AM.AB=18 par hypothèse

Donc AI.AB+IM.AB=18 or AI.AB=18 donc IM.AB=0

IM et AB sont orthogonaux donc AIM est rectangle en I

2a) PAr construction, le projeté orthogonal, de M sur AB est I puisque AIM est rectangle en I.

2b) AM.AB=(AI+IM).AB=AI.AB+IM.AB

Or IM et AB sont orthogonaux puisque I est le projeté othogonal de M sur AB. Donc IM.AB=0

Donc AM.AB=AI.AB=3x6=18

3) Si AM.AB=18 alors AIM est rectangle en I.

Si AIM est rectangle en I alors AM.AB=18

Donc les 2 propositions sont équivalentes