Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pour mardi prochain, je ne pense pas que l'enxercice soit très dur mais je viens juste de réaborder le chapitre du coup j
Mathématiques
camroger1
Question
Bonjour,
j'ai un devoir maison à faire pour mardi prochain, je ne pense pas que l'enxercice soit très dur mais je viens juste de réaborder le chapitre du coup je suis un peu perdue...
Voici l'énoncé: (je ne veux pas que vous me donniez les réponses mais juste que vous m'aidiez à trouver des pistes pour arriver à faire le bon raisonnement, pour trouver le bon résultat):
f est la fonction définie sur R par : f(x)=x/(x²+x+1)
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.
1. Etudier les variations de f et tracer la courbe représentative de f sur [0;1].
2. u est la suite définie par u0=1 et pour tout nombre entier naturel n, un+1=f(un). Construire u0,u1,u2 et u3 sur l'axe des abscisses. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite u ?
3.a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤1/(n+1)
b) En déduire par récurrence que pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤un≤1/n
4. Démontrer les conjectures émises au 2.
Merci d'avance à ceux qui répondront! :)
j'ai un devoir maison à faire pour mardi prochain, je ne pense pas que l'enxercice soit très dur mais je viens juste de réaborder le chapitre du coup je suis un peu perdue...
Voici l'énoncé: (je ne veux pas que vous me donniez les réponses mais juste que vous m'aidiez à trouver des pistes pour arriver à faire le bon raisonnement, pour trouver le bon résultat):
f est la fonction définie sur R par : f(x)=x/(x²+x+1)
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.
1. Etudier les variations de f et tracer la courbe représentative de f sur [0;1].
2. u est la suite définie par u0=1 et pour tout nombre entier naturel n, un+1=f(un). Construire u0,u1,u2 et u3 sur l'axe des abscisses. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite u ?
3.a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤1/(n+1)
b) En déduire par récurrence que pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤un≤1/n
4. Démontrer les conjectures émises au 2.
Merci d'avance à ceux qui répondront! :)
1 Réponse
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1. Réponse editions
3a)
n>=0 donc n+1>=1 donc n+1>0 donc 1/n+1>0
et n+1>=1 donc 1/(n+1)<=1
donc 0<=1/(n+1)<=1
b)
initalisation U0=1<=1/1, donc la propriété est vérifiée au rang 0
hérédité
On suppose que 0≤Uk≤1/n et on va démontrer qu'alors 0≤U(k+1)≤1/(k+1)
0≤Uk≤1/n
U(k+1)=f(Uk)
On a démontré qu'entre 0 et 1 f(x) est croissante
donc
f(Uk)≤f(1/k)
donc U(k+1)≤f(1/k)
je ne te mets pas les calculs: f(1/k)=k²/(k²+k+1)
donc U(k+1)≤k²/(k²+k+1)
Maintenant on va montrer que k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
Pour cela on va étudier le signe de 1/(k+1)- k²/(k²+k+1)
je ne te mets pas les calculs, ça fait: 1/(k+1)((k²+k+1)
k+1>0 et ((k²+k+1)>0 (delta négatif)
donc 1/(k+1)((k²+k+1)>0
donc k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
donc U(k+1)≤k²/(k²+k+1)<1/(k+1)
donc U(k+1)≤1/(k+1)
d'autre part pour tout n, Un>0
Reste à montrer que Un>=0
toujours par récurrence : U0>0
puis si Uk positif alors f(Uk)=U(k+1)>0 (on l'a montré plus haut)
donc Un>0 pour tout n.
On a donc 0≤un≤1/n
4)
0≤un≤1/n
On applique le théorème des gendarmes
lim 0 que n tend vers inf=0
lim 1/n quand n tend vers l'infini=0
donc lim Un quand n inf=0