Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur un dm de maths svp. Merci d'avance On considère un rectangle ABCD de périmètre 80 cm. Le but de l’exercice est de déterminer
Question
On considère un rectangle ABCD de périmètre 80 cm.
Le but de l’exercice est de déterminer les les longueurs AB et AD telles que l’aire de ABCD
soit maximale.
On pose AB=x et A(x) désigne l’aire du rectangle.
1) Justifier que l’ensemble de définition de la fonction A noté est [0;40]
1) Montrer que A(x)=x(40-x)
2) Montrer que A(x)=400-(x-20)²
3) Peut-on avoir A(x)=500 ? Justifier
4) a) Caluler A(20)
b) Montrer que A(x)Â400
c) Déduire des questions précédentes que la fonction A admet pour maximum 400 et
déterminer alors les longueurs AB et AD.
2 Réponse
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1. Réponse olivierronat
Réponse :
Explications étape par étape :
2. Réponse ayuda
bjr
A x B
D C
on sait que le périmètre P du rectangle = 80 cm
donc que :
AB + BC + CD + DA = 80
soit
x + BC + x + BC = 80 (longueurs opposées identiques)
2x + 2BC = 80
BC = 40 - x
Q1
pour que ABCD existe, il faut que 40 - x > 0
- x > - 40
x < 40
=> x doit varier entre 0 et 40
=> DA = [0 ; 40]
Q2
A(x) = aire rectangle ABCD = AB * BC = x * (40 - x)
Q3
A(x) = 40x - x² = -x² + 40x = - (x² - 40) = - [(x - 20)² - 20²]
= - (x - 20)² + 400 = 400 - (x - 20)²
forme canonique de A(x)
puisque x² - 40 est le début du développement de (x - 20)²
mais comme (x - 20)² = x² - 40x + 20² - on va soustraire 20² pour garder l'égalité
Q4
A(x) = 500 possible ?
on sait que A(x) = 400 - (x-20)²
donc résoudre :
400 - (x-20)² = 500
soit - (x-20)² = 100
donc (x-20)² = -100
impossible - un carré ne peut pas être négatif
Q5
A(20)
A(x) = 400 - (x - 20)²
donc A(20) = 400 - (20-20)² = 400
Montrer que A(x)Â400 ??
maximum A(x) = 400
x = 20 => AB = AD = 20
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