Bonjour, je suis bloqué sur un exercice qui est pourtant simple depuis près de 2 heures... Je suis actuellement en Terminale Générale. Consigne : En 1980, 10 00
Question
Consigne :
En 1980, 10 000 ménages vivant en France étaient équipés d'un ordinateur. On note f(t) le nombre de ces ménages, en million, t années après 1980 (t>=0).
Le modèle de Verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E1):y'=0,022y(20-y).
1. a) On pose u=1/f. Démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution sur [0;40] de l'équation différentielle (E2):y'=-0,44y+0,022.
b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E2).
c) En déduire m'ensemble des solutions de (E1).
d) Démontrer alors que la fonction f est définie sur l'intervalle [0;40] par f(t)=20/(1+1999e^-0,44t).
J'ai demandé de l'aide à mes parents ainsi qu'à ma grand mère mais personne n'a l'air de pouvoir m'aider...
Serait-il possible de m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse caylus
Bonjour,
[tex]E_1: y'=0.022*y(20-y)\\\\y'-0.44*y=-0.022y^2\\[/tex]
Le polynôme du 2è membre en y est du second degré (p=2).
Ce type d'équation est de Bernoulli.
On pose z=y^(1-p)
z=y^-1=1/y
z'=-1/y² *y'
On a : -z'/z²-0.44*1/z=-0.022*1/z²
ou encore
1a) z'+0.44*z=0.022
1b)
L'équation homogène correspondante est z'+0.44*z=0
qui a pour solution z=e^(-0.44*t)*k
On va utiliser la méthode de le variation de la constante:
z'=-0.44*e^(-0.44*t)*k+k'*e^(-0.44*t)
L'équation générale devient:
z'+0.44*z=0.022
-0.44*e^(-0.44*t)*k+k'*e^(-0.44*t)+0.44*e^(-0.44*t)*k=0.022
k'=0.022 *e^(0.44*t)
k=0.022*e^(0.44*t)/0.44 +C
z=e^(-0.44*t)*k
Détermination de C:
si t=0 , y=10000 donc z=1/y=1/10000=k
1/10000=0.022/0.44+C
C=-0,0499.
J'espère que ceci peut t'aider et que je ne me suis pas trompé.